확률의 세계에서, 확률 변수는 대수학처럼 알 수 없는 숫자를 나타내는 자리표시자(플레이스홀더)가 아니다. 오히려 이를 확률 변수 정식 번역기로 생각하라. 그것은 실험의 질적 결과(예: 흰 공을 뽑는 것)를 양적 수치값(예: -1달러)으로 매핑하는 실수값 함수 $X: S \rightarrow \mathbb{R}$이다. 정식 번역기. 이것은 실험의 질적 결과(예: '흰 공을 뽑는다')를 양적 수치값(예: '-1달러')로 변환하는 실수값 함수 $X: S \rightarrow \mathbb{R}$이다.
매핑의 논리
확률 변수를 사용함으로써 우리는 추상적인 결과의 집합에 대해 이야기하는 것을 멈추고, 수치로 사건을 설명하기 시작한다. 예를 들어 동전을 세 번 던졌을 때, $\{HHT, HTH, THH\}$라는 집합을 보는 대신, $X$를 '머리의 개수'로 정의하고 단순히 $X=2$ 사건을 분석할 수 있다.
확률 변수는 이산 범위가 유한하거나 가산 무한 (예: 정수). 이는 중요한 차이점이며, 총 확률을 구하기 위해 적분 대신 합계 ($∑$)를 사용할 수 있게 한다.
확률 질량 함수 (PMF)
PMF는 이산 확률 변수가 특정 값 $a$를 취할 확률을 포착한다. $p(a)$는 두 가지 절대적으로 지켜야 할 공리들을 만족해야 한다:
- $p(x_i) \geq 0$ (음수 확률은 존재하지 않음).
- $\sum_{i=1}^{\infty} p(x_i) = 1$ (모든 가능한 결과를 포함해야 하는 전체 확률 질량).
실제 예제: 그릇 역설
흰 공 8개, 검은 공 4개, 주황색 공 2개가 들어 있는 그릇을 생각해보자. 우리는 공을 하나 꺼내서 $X$를 우리 수익으로 정의한다. 검은 공을 뽑으면 2달러를 받지만, 흰 공을 뽑으면 1달러를 잃는다. 이 확률 질량 함수는 '공을 뽑는 행위'를 금융 분포로 바꾸어, 파산할 가능성과 손익이 맞춰질 가능성 계산을 가능하게 한다.
$i=0, 1, 2, \dots$에 대해 $p(i) = c\lambda^i/i!$일 경우, 먼저 합이 1이 되도록 $c$를 찾는다. $e^\lambda$의 테일러 급수를 이용하여 $c = e^{-\lambda}$를 구한다. 그러면 $P\{X=0\} = e^{-\lambda}$이고, $P\{X>2\} = 1 - e^{-\lambda}(1 + \lambda + \lambda^2/2)$이다.